Ki-Kare Dağılım Tablosu

Ki-Kare Tablosu Nasıl Okunur?

Sol sütunda serbestlik derecesi (df) yer alır. Üst satırdaki her sütun başlığı bir anlamlılık düzeyidir (α). Satır ve sütunun kesiştiği hücredeki sayı kritik değerdir — ki-kare istatistiğiniz bu eşiği geçerse, sıfır hipotezini o anlamlılık düzeyinde reddedersiniz.

Örneğin 5 kategorili bir uyum iyiliği testi yaptınız ve df = 4. α = 0.05 sütununda 9.488 değerini bulursunuz. Hesapladığınız χ² değeri 9.488'den büyükse, veriler %5 düzeyinde sıfır hipotezini reddetmeye yeter. Karl Pearson bu testi 1900 yılında tanıttı ve o zamandan beri aynı tablo yapısı istatistik derslerinin temelini oluşturuyor.

Ki-Kare Dağılımı Ne Zaman Kullanılır?

Ki-kare dağılımı üç ana bağlamda karşınıza çıkar. Uyum iyiliği testi, gözlenen sayıların beklenen bir dağılıma uyup uymadığını kontrol eder — df, kategori sayısı eksi birdir. Bağımsızlık testi, bir çapraz tablodaki iki kategorik değişkenin ilişkili olup olmadığını sorar — df, (satır − 1) × (sütun − 1) olarak hesaplanır. Varyans testi ise bir örneklem varyansını varsayılan popülasyon varyansıyla karşılaştırır — df, n − 1'dir.

Testin Varsayımları

Ki-kare testi kategorik (sayı) verilerle çalışır, sürekli ölçümlerle değil. Her gözlem bağımsız olmalıdır — bir kişi aynı anda iki hücrede bulunamaz. Beklenen frekanslar her hücrede en az 5 olmalıdır; bu değerin altına düşerse ki-kare yaklaşımı bozulur ve Fisher'ın kesin testi daha iyi bir seçenek haline gelir. Cochran bu kuralı 1954'te yayımladı ve bugün hâlâ standart kabul ediliyor.

Sık Kullanılan Kritik Değerler

Aşağıdaki tablo, akademik araştırmaların büyük çoğunluğunda kullanılan serbestlik derecesi ve anlamlılık düzeyi kombinasyonlarını kapsar. df = 30 üzerindeki değerler için sayfanın üstündeki interaktif tabloyu kullanın.

Kritik değerler df ile birlikte büyür çünkü daha yüksek boyutlu bir dağılımın aynı kuyruk olasılığına ulaşmak için daha büyük bir χ² değerine ihtiyacı vardır. df = 1'de 3.841 değeri 95. yüzdelik dilime denk gelirken, df = 30'da aynı eşiğe ulaşmak için 43.773 gerekir. α = 0.05 ile α = 0.01 arasındaki fark df arttıkça daralır — dağılımın büyük serbestlik derecelerinde normal dağılıma yakınsadığının göstergesi.

Baştan Sona Örnek Bir Hesaplama

Kritik değer, gerçek bir soruyu yanıtlarken çok daha anlamlı hale gelir. Bir pazar araştırmacısının 400 müşteriye anket yaptığını ve her birinin beş markadan hangisini tercih ettiğini kaydettiğini düşünün. Sıfır hipotezi sade olanıdır: beş marka da eşit popülerdir, yani her birinden 80 tercih beklenir.

Sayımlar dengesiz geliyor — 90, 60, 104, 95 ve 51. Ki-kare istatistiği bu dağılımın düz 80'lik beklentiden ne kadar uzaklaştığını ölçer; (gözlenen − beklenen)² / beklenen değerlerini beş kategori boyunca toplar ve 26.775 sonucunu verir. Hasarın çoğunu tek bir marka yapıyor: 80 beklenirken 51 gelen marka tek başına 10.51 katkı sağlıyor, yani toplamın yaklaşık %40'ı.

Beş kategori, serbestlik derecesini df = 4 olarak sabitler — diğer dördünü ve 400 toplamını bildiğinizde son sayım otomatik belirlenir. Bu sizi tablonun 4. satırına yönlendirir. α = 0.05'te kritik değer 9.488'dir ve 26.775 bunu rahatça aşar; yani markalar eşit popüler değildir ve sıfır hipotezini %5 düzeyinde reddedersiniz.

Daha sıkı eşikleri de aşar: α = 0.01'de 13.277 ve hatta α = 0.001'de 18.467. Bu son karşılaştırma, yazılımın sonucu sınırda değil de p < 0.001 olarak bildirmesinin nedenidir — kesin p değeri yaklaşık 0.00002 çıkar. Aritmetiği kendi sayımlarınız üzerinde çalıştırmak için ki-kare testi hesaplayıcı her adımı yapar ve istatistiği doğrudan verir.

Büyük Serbestlik Dereceleri için Kritik Değerler (df > 100)

Basılı tablolar df = 30 veya df = 100'de durur — kağıt bittiği için, dağılım bittiği için değil. Gerçek aramalar çok daha öteye gider: büyük örneklemli varyans testleri, log-olabilirlik model karşılaştırmaları, üretim verisinden gelen çapraz tablolar. Yukarıdaki etkileşimli tablo df = 1000'e kadar kesin satırlar listeler; hızlı arama alanı 10.000'e kadar her df için değeri hesaplar.

Doğrudan tablodan iki örnek: df = 337'de α = 0.05 için kritik değer 380.809, α = 0.01'de 400.319'a çıkar. df = 1423 ve α = 0.05'te ise 1511.872. Bu değerler ki-kare CDF'inin sayısal olarak tersine çevrilmesinden gelir — bir istatistik paketinin çalıştırdığı hesabın aynısı, yaklaşım değil.

Büyük df için klasik kestirme yol, 1931'de yayımlanan Wilson–Hilferty yaklaşımıdır: χ²_α ≈ df · (1 − 2/(9df) + z_α·√(2/(9df)))³.

Kesin değerlerle karşılaştırıldığında df = 100'ün ötesinde her yerde iki ondalık basamağa kadar tutar — formülü neredeyse bir yüzyıl ders kitaplarında tutan doğruluk budur. Bugün asıl işe yaradığı yer, elinizde yalnızca normal tablo ve kalem olduğu anlardır.

Sıkça Sorulan Sorular

İlgili Hesaplayıcılar