Таблиця розподілу хі-квадрат

Як читати таблицю хі-квадрат

У лівому стовпці розташовані ступені свободи (df). Кожен заголовок стовпця вгорі — це рівень значущості α (ймовірність правого хвоста). Число на перетині рядка та стовпця — критичне значення, яке повинна перевищити ваша хі-квадрат статистика, щоб відхилити нульову гіпотезу на цьому рівні значущості.

Наприклад, ви провели тест на відповідність з 5 категоріями, тобто df = 4, і хочете перевірити на рівні α = 0.05. Знайдіть рядок 4 і стовпець 0.05 — на перетині буде 9.488. Якщо ваше χ² перевищує 9.488, дані дають достатньо підстав відхилити нульову гіпотезу на рівні 5%. Карл Пірсон запропонував цей тест у 1900 році, і з того часу ця таблиця є невід'ємною частиною курсів статистики.

Коли використовується розподіл хі-квадрат

Розподіл хі-квадрат зустрічається у трьох основних контекстах. Тест на відповідність перевіряє, чи збігаються спостережувані частоти з гіпотетичним розподілом — df дорівнює кількості категорій мінус один. Тест незалежності з'ясовує, чи пов'язані дві категоріальні змінні в таблиці спряженості — df дорівнює (рядки − 1) × (стовпці − 1). Тест дисперсії порівнює вибіркову дисперсію з гіпотетичною популяційною — df дорівнює n − 1.

Припущення тесту

Хі-квадрат тест працює з категоріальними даними (підрахунками), а не з безперервними вимірюваннями. Кожне спостереження повинно бути незалежним — одна особа не може з'являтися одночасно в двох комірках. Очікувані частоти мають бути не менше 5 у кожній комірці — інакше наближення хі-квадрат стає ненадійним і краще використовувати точний тест Фішера. Кокрен опублікував це правило в 1954 році, і воно залишається стандартом у більшості підручників.

Поширені критичні значення

Наведена нижче таблиця охоплює комбінації ступенів свободи та рівнів значущості, які зустрічаються в переважній більшості наукових досліджень. Для df понад 30 використовуйте інтерактивну таблицю вгорі сторінки.

Критичні значення зростають разом зі ступенями свободи, бо розподіл вищої розмірності потребує більшого χ², щоб досягти тієї самої ймовірності хвоста. При df = 1 значення 3.841 відповідає 95-му перцентилю, а при df = 30 той самий поріг становить 43.773. Різниця між α = 0.05 і α = 0.01 звужується зі зростанням df — розподіл наближається до нормального при великих ступенях свободи.

Повний приклад: від даних до висновку

Критичне значення стає зрозумілішим, коли воно вирішує реальне питання. Уявіть, що дослідник ринку опитує 400 покупців і записує, якому з п'яти брендів кожен віддає перевагу. Нульова гіпотеза проста: усі п'ять брендів однаково популярні, тож від кожного очікується по 80 виборів.

Підрахунки виходять нерівними — 90, 60, 104, 95 і 51. Статистика хі-квадрат вимірює, наскільки далеко цей розподіл відхиляється від рівних 80, підсумовуючи (спостережуване − очікуване)² / очікуване по всіх п'яти категоріях, і дає 26.775. Найбільший внесок робить один бренд: 51 вибір замість очікуваних 80 додає 10.51 окремо, тобто майже 40% усієї статистики.

П'ять категорій фіксують ступені свободи на df = 4, адже останній підрахунок визначається, щойно відомі інші чотири та загальна сума 400. Це веде вас до рядка 4 таблиці. На рівні α = 0.05 критичне значення дорівнює 9.488, і 26.775 перевищує його із запасом, тож бренди не однаково популярні, і нульову гіпотезу відхиляють на рівні 5%.

Воно долає й суворіші пороги: 13.277 на рівні α = 0.01 і навіть 18.467 на рівні α = 0.001. Саме це останнє порівняння пояснює, чому програми позначають результат як p < 0.001, а не як межовий — точне p-значення виходить близько 0.00002. Щоб виконати обчислення на власних даних замість зчитування порогів із таблиці, калькулятор хі-квадрат тесту робить кожен крок і одразу повертає статистику.

Критичні значення для великих ступенів свободи (df > 100)

Друковані таблиці зупиняються на df = 30 чи df = 100, бо закінчується папір, а не розподіл. Реальні пошуки йдуть значно далі: тести дисперсії на великих вибірках, порівняння моделей за логарифмом правдоподібності, таблиці спряженості з робочих даних. Інтерактивна таблиця вище містить точні рядки до df = 1000, а поле швидкого пошуку обчислює значення для будь-якого df до 10 000.

Два приклади просто з таблиці: при df = 337 критичне значення для α = 0.05 дорівнює 380.809, а при α = 0.01 зростає до 400.319. При df = 1423 і α = 0.05 — 1511.872. Ці числа отримані чисельним оберненням CDF хі-квадрат, без наближень — те саме обчислення, що виконує статистичний пакет.

Класичний обхідний шлях для великих df — наближення Вілсона–Гілферті, опубліковане 1931 року: χ²_α ≈ df · (1 − 2/(9df) + z_α·√(2/(9df)))³.

У порівнянні з точними значеннями воно тримається в межах двох десяткових знаків скрізь за df = 100 — саме ця точність тримала формулу в підручниках майже століття. Сьогодні вона потрібна хіба тоді, коли під рукою лише нормальна таблиця й олівець.

Часті запитання

Пов'язані калькулятори