Tek Yönlü ANOVA Gerçekte Neyi Test Eder?
Tek yönlü ANOVA tek bir soruyu yanıtlar: bu grupların hepsi aynı popülasyon ortalamasını paylaşıyor olabilir mi? NIST/SEMATECH e-Handbook, sıfır hipotezini "faktör A'nın farklı düzeyleri arasında popülasyon ortalamaları bakımından fark yoktur" biçiminde ifade eder; alternatif hipotez ise ortalamaların aynı olmadığıdır (NIST, bölüm 7.4.3). Burada neyin söylenmediğine dikkat edin: hangi ortalamanın farklı olduğunu ya da farkın ne kadar büyük olduğunu söylemez.
Adı biraz yanıltıcıdır, çünkü test ortalamaları varyansları inceleyerek karşılaştırır. Verideki toplam değişimi iki yığına ayırır: grup üyeliğiyle açıklanan kısım ve grupların içinde kalan kısım. Birinci yığın ikinciye göre büyükse grup üyeliği gerçekten bir iş görüyordur. Fikrin tamamı budur; yukarıdaki tablodaki her şey bu fikrin muhasebesidir.
Neden Birkaç T Testi Yapmıyoruz?
Çünkü eklediğiniz her test, yanlış pozitif için bir piyango bileti daha demektir. Üç grup üç ikili karşılaştırma doğurur. Her biri α = 0,05 ile yapılırsa ve testlerin bağımsız olduğunu varsayarsak, en az bir yanlış alarm olasılığı 1 − 0,95³, yani yaklaşık %14'tür. On grupta 45 çift vardır ve aynı hesap 1 − 0,95⁴⁵ ile %90'ın üzerine çıkar. Çiftler veriyi paylaştığı için gerçek rakamlar bir miktar farklıdır, ama yön tartışmasızdır.
ANOVA bu sorunu tek soruyu tek seferde sorarak çözer. Genel test anlamlı çıkarsa tek tek çiftlere bakmak anlam kazanır; o zaman da genel hata oranını koruyan bir yöntemle.
F İstatistiği Nasıl Oluşur?
k grup ve toplam N gözlem için hesaplayıcı üç kareler toplamını ve bunlara ait serbestlik derecelerini bulur:
- SSB = Σ nᵢ(x̄ᵢ − x̄)², df₁ = k − 1
- SSW = ΣΣ (x − x̄ᵢ)², df₂ = N − k
- SST = SSB + SSW, serbestlik derecesi N − 1
- MSB = SSB / df₁, MSW = SSW / df₂, F = MSB / MSW
MSW, grupların içindeki varyansların ortalamasıdır; yani saf dağılımı ölçer. MSB ise grup ortalamalarının genel ortalamadan ne kadar uzak olduğunu grup büyüklüğüne göre ölçekleyerek verir. Sıfır hipotezi doğruysa ikisi de aynı niceliği tahmin eder ve F, 1'in civarında kalır. P değeri, (df₁, df₂) serbestlik dereceli F dağılımının üst kuyruk alanıdır; F-dağılımı tablosu da aynı dağılıma dayanır.
Baştan Sona Çalışılmış Bir Örnek
Hesaplayıcı, her biri on puandan oluşan üç grupla açılır; yani k = 3 ve N = 30. Sonuçlar sırayla şöyledir.
Grup ortalamaları 83,4, 89,3 ve 84,7'dir. Genel ortalama 85,8'dir.
Her grup SSB'ye n(x̄ᵢ − x̄)² kadar katkı yapar: 57,6, 122,5 ve 12,1. Toplam SSB = 192,2.
Grupların içinde kareli sapmalar 640,4, 208,1 ve 252,1 eder. Yani SSW = 1100,6 ve SST = 1292,8.
Serbestlik dereceleri 2 ve 27. MSB = 192,2 / 2 = 96,1; MSW = 1100,6 / 27 = 40,763.
Böylece F = 96,1 / 40,763 = 2,3575 ve p = 0,1138. F(2, 27) için %5 kritik değeri 3,354'tür; 2,3575 buna ulaşmaz.
Dürüst yorum şudur: bu veriler üç ortalama arasında güvenilir bir fark göstermiyor. 2. grup, 1. grubun yaklaşık altı puan üzerinde ve bu bir şey ifade ediyormuş gibi görünüyor; ama yalnızca 1. grup 71 ile 98 arasında değişiyor ve grup başına on gözlem, altı puanlık farkı bu kadar geniş bir dağılımdan ayırmaya yetmiyor. Eta kare 0,1487, yani olağan eşiklere göre büyük bir etki; yine de anlamlı değil. İkisi aynı anda doğrudur ve etki büyüklüğünü p değerinin yerine değil, yanında vermeniz gerekmesinin nedeni de budur.
Kontrol Etmeye Değer Varsayımlar
- Bağımsız gözlemler. Her değer farklı bir denekten gelmeli, bir grubun değerleri diğerini etkilememeli. Aynı kişilerin tekrarlı ölçümleri için tekrarlı ölçümler deseni gerekir; bu araç onu kapsamaz.
- Her grupta yaklaşık normal dağılım. NIST el kitabı, ANOVA'nın örneklenen popülasyonların normal dağıldığı varsayımıyla uygulandığını belirtir. Grup başına birkaç değerle bunu iyi sınayamazsınız; grafiğe ve ölçümün doğasına dair sağduyuya dayanın.
- Gruplar arasında benzer yayılım. Klasik F testi grup içi varyansları birleştirir. Grup tablosundaki standart sapmalara bakın: biri diğerinden birkaç kat büyükse ve grup boyutları farklıysa, sınırdaki bir p değerine şüpheyle yaklaşın.
Eta Kare: Fark Ne Kadar Büyük?
Eta kare, SSB / SST oranıdır; yani toplam değişimin gruplar arasında kalan payı. 0 ile 1 arasında değişir ve istatistikçi olmayan birine anlatması kolaydır: 0,15, puanlardaki değişimin yaklaşık %15'inin grup üyeliğiyle birlikte hareket ettiği anlamına gelir. Yaygın pratik eşikler olan 0,01 küçük, 0,06 orta ve 0,14 büyük, Cohen'e aittir. Bunları kesin hüküm değil kaba bir ölçü olarak görün; anlamlı bir etkinin ne olduğu alandan alana değişir. Eta kare küçük örneklemlerde biraz yüksek çıkar, çünkü popülasyonu değil örneklemi anlatır.
Anlamlı Sonuçtan Sonra
Küçük bir p değeri bir ortalamanın farklı olduğunu söyler, fazlasını değil. Olağan sonraki adım, tüm grup çiftlerini genel hata oranını koruyarak karşılaştıran Tukey HSD gibi bir post hoc testtir. Mümkünse bunu veriyi görmeden planlayın. Yalnızca tek bir karşıtlıkla ilgileniyorsanız (örneğin tedavi ile kontrol), planlı karşılaştırma hem daha basit hem daha güçlüdür. F testinin önemsediğiniz farkı yakalama şansını hesaplamak için güç analizi hesaplayıcıdan başlayın.
Sık Sorulan Sorular
Tek yönlü ANOVA neyi test eder?
Üç veya daha fazla grubun ortalamasının, aynı ortalamaya sahip popülasyonlardan gelip gelemeyeceğini test eder. Sıfır hipotezi ortalamaların eşit olduğunu söyler; alternatif hipotez en az bir ortalamanın farklı olduğunu söyler. Test, grup ortalamalarının birbirinden ne kadar uzaklaştığını, grupların içindeki değerlerin ne kadar dağıldığıyla kıyaslar. Birincisi ikincisinin çok üstüne çıkarsa F istatistiği büyür, p değeri küçülür.
Neden birkaç tane t testi yapmıyoruz?
Her yeni test, tesadüfi bir bulguya rastlama şansını biraz daha artırır. Üç grupta üç ikili karşılaştırma gerekir; her biri α = 0,05 ile yapılırsa ve testler bağımsız olsaydı, en az bir yanlış alarm olasılığı yaklaşık %14 olurdu. On grupta 45 çift vardır ve bu olasılık %90'ı aşar. ANOVA tek bir soruyu tek bir α ile sorar.
F istatistiğini nasıl yorumlamalıyım?
F, gruplar arası kareler ortalamasının gruplar içi kareler ortalamasına oranıdır. 1'e yakın bir F, grup ortalamaları arasındaki farkın tek başına gürültüyle açıklanabileceğini gösterir. 1'in çok üzerindeki bir F ise ortalamaların grup içi dağılımın açıklayabileceğinden fazla ayrıştığı anlamına gelir. P değerini α ile karşılaştırın ya da kritik değeri F dağılımı tablosundan bulun.
ANOVA anlamlı çıktı. Hangi gruplar farklı?
ANOVA bunu söyleyemez. Anlamlı bir F yalnızca en az bir ortalamanın farklı olduğunu gösterir. Hangi çiftlerin ayrıştığını bulmak için Tukey HSD gibi bir post hoc yöntem uygulayın; bu yöntem tüm çiftleri karşılaştırırken genel hata oranını kontrol altında tutar. Bu hesaplayıcı yalnızca genel (omnibus) testi yapar.
ANOVA'yı yalnızca iki grupla kullanabilir miyim?
Evet, sonuç birleştirilmiş varyanslı iki örneklem t testiyle aynıdır: F, t'nin karesine eşittir ve p değerleri örtüşür. İki grupta t testi genellikle daha iyi bir seçimdir, çünkü işaretli bir fark ve güven aralığı da verir. Yukarıdaki örnek veride 1. ve 2. grup için F = 3,692 çıkar; aynı iki grubun t istatistiği −1,9215'tir ve karesi 3,692'dir.
Grupların varyansları veya boyutları farklıysa ne olur?
Grup boyutları eşit olduğunda klasik F testi, eşit olmayan varyanslara karşı daha toleranslıdır. Boyutlar farklıysa ve dağılımlar belirgin biçimde ayrışıyorsa klasik test yanıltabilir; Welch ANOVA gibi bir alternatif daha güvenlidir. Bu hesaplayıcı klasik, eşit varyanslı F testini çalıştırır. Sınırda bir sonuca güvenmeden önce tablodaki grup standart sapmalarına bakın.