Таблиця Z-оцінок

Таблиця стандартного нормального розподілу — знайдіть ймовірності для будь-якої z-оцінки.

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990
3.1	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993	0.9993
3.2	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995	0.9995
3.3	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9997
3.4	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9998
3.5	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998
3.6	0.9998	0.9998	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.7	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.8	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.9	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

Як читати таблицю Z-оцінок?

Таблиця Z-оцінок відображає кумулятивну ймовірність P(Z ≤ z) для стандартного нормального розподілу з середнім 0 і стандартним відхиленням 1. Рядки відповідають першому десятковому знаку z-оцінки (наприклад, 1,3), а стовпці — другому (наприклад, 0,04), тож перетин дає ймовірність для z = 1,34. Розуміння того, як читати цю таблицю, залишається важливою навичкою — на іспитах з теорії ймовірностей та на співбесідах у data science без неї не обійтися. Зараз є онлайн-калькулятори, але вміння працювати з таблицею допомагає глибше зрозуміти нормальний розподіл.

Стандартна нормальна таблиця — кумулятивний формат

Друковані довідники подають цю таблицю двома способами, і плутанина між ними дає неправильні відповіді. Довідник NIST/SEMATECH (розділ 1.3.6.7.1) наводить площу від 0 до z — для z = 1,00 там стоїть 0,3413.

Наша таблиця показує повну кумулятивну ймовірність P(Z ≤ z), тому для того самого z = 1,00 тут буде 0,8413. Обидва варіанти правильні; формат NIST просто залишає нижню половину кривої (0,5) на вас.

Більшість екзаменаційних задач питають саме P(Z ≤ z) або P(Z > z) — один пошук у таблиці, щонайбільше одне віднімання. Якщо відповіді у вашому підручнику стабільно на 0,5 менші за наші — він друкує формат «від 0 до z», і тепер ви знаєте, що саме додати.

Таблиця від'ємних z-оцінок

Перемикач над таблицею відкриває від'ємну половину (−3,9 до 0). Всю роботу виконує симетрія: P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z), тож кожне від'ємне значення — дзеркало свого додатного двійника. Значення нижче покривають від'ємні z-оцінки, які вирішують більшість односторонніх і двосторонніх тестів.

z	P(Z ≤ z)	Де трапляється
−1,000	0,1587	Одне SD нижче середнього — межа нижніх 16%
−1,500	0,0668	Поширене значення в навчальних задачах
−1,645	0,0500	Односторонній тест при α = 0,05 (лівий хвіст)
−1,960	0,0250	Двосторонній тест при α = 0,05 (нижня межа)
−2,326	0,0100	Односторонній тест при α = 0,01
−2,576	0,0050	Двосторонній тест при α = 0,01 (нижня межа)
−3,000	0,0013	Три SD нижче середнього — зона викидів

Критичні значення z для перевірки гіпотез

Довірчі інтервали та перевірка гіпотез спираються на ті самі значення z, просто подають їх у різних рамках. Який хвіст розподілу вас цікавить — саме це й визначає, який стовпець читати.

Рівень α	Одностороннє z	Двостороннє z	Типове застосування
0,10	1,282	±1,645	Розвідувальний аналіз, маркетингові A/B тести
0,05	1,645	±1,960	Стандартний академічний поріг
0,025	1,960	±2,241	Поправка Бонферроні для m=2 тестів
0,01	2,326	±2,576	Рішення з високою впевненістю
0,005	2,576	±2,807	Клінічні випробування, дослідження безпеки
0,001	3,090	±3,291	Виявлення шахрайства, фізика елементарних частинок

Одна закономірність, яку варто запам'ятати: двостороннє z на рівні α дорівнює односторонньому z на рівні α/2. Тому ±1,960 зустрічається і для двостороннього 0,05, і для одностороннього 0,025 — те саме число, лише в іншій рамці. Правило «5 сигм» у фізиці елементарних частинок відповідає односторонньому α близько 3×10⁻⁷, тож пороги відкриттів там сприймаються зовсім інакше, ніж звичайні p-значення.

Поширені запитання

Що означає значення в таблиці z?

Значення P(Z ≤ z) — це кумулятивна ймовірність того, що випадкове спостереження зі стандартного нормального розподілу опиниться нижче за вашу z-оцінку. Уявіть дзвоноподібну криву, де зафарбовано все ліворуч від z, — таблиця показує саме розмір цієї площі.

Як знайти площу праворуч від z?

Знайдіть z у таблиці й відніміть від одиниці. Для z = 1,23 таблиця дає 0,8907, тож P(Z > 1,23) = 1 − 0,8907 = 0,1093. Це правило доповнення — єдиний додатковий крок, який тут знадобиться.

Чому z = 1,96 трапляється в статистиці всюди?

Це межа, за якою в кожному хвості стандартного нормального розподілу лежить рівно 2,5%. Саме тому 1,96 — критичне значення двостороннього 95% довірчого інтервалу, стандарт більшості академічних досліджень. У грубих оцінках 1,96 округлюють до 2 — для прикидки цього досить.

Як знайти z-оцінку за відомою ймовірністю (зворотний пошук)?

Працюйте з таблицею навпаки: шукайте в її тілі саму ймовірність, а z зчитуйте з підписів рядка і стовпця. Для 0,9750 це рядок 1,9 і стовпець ,06 — отже z = 1,96. Поле швидкого пошуку над таблицею пропускає сканування: введіть імовірність — отримаєте точне z одним кроком.

Як читати таблицю Z-оцінок?

Стандартна нормальна таблиця — кумулятивний формат

Таблиця від'ємних z-оцінок

Критичні значення z для перевірки гіпотез

Поширені запитання

Повʼязані калькулятори

Калькулятор Z-оцінки

Калькулятор стандартного відхилення

Калькулятор P-значення

Таблиця розподілу хі-квадрат

Таблиця t-розподілу